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¿Cuál es la inversa de una función trigonométrica?

Necesito ejemplos, porque me explicaron que para sacar una integral por partes
$latex \int f\cdot g'=f\cdot g - \int f'\cdot g$
para encontrar cuál es $latex f$ debía seguir el siguiente orden

inversa trigonométrica

logaritmo
polinomio
exponencial
trigonométrica

Pero yo creía que la inversa de una trigonométrica es otra trigonométrica

Suele existir una confusión con el término "inversa" cuando se aplica a funciones, porque se entiende en el sentido de "inverso multiplicativo". Definimos este enseguida:

Inverso multiplicativo
Dados dos números reales, $latex a$ y $latex b$, se dice que $latex b$ es el inverso multiplicativo de $latex a$ si se cumple que $latex a \times b=1$

Por ejemplo: el inverso multiplicativo de 2 es $latex \frac{1}{2}$ porque $latex 2\times \frac{1}{2}=1$.

(Nótese que la relación es simétrica, es decir, si $latex a$ es inverso multiplicativo de $latex b$, también $latex b$ es inverso multiplicativo de $latex a$)

Sin embargo, tratándose de funciones el término inversa se refiere a algo muy diferente, en particular, a otra función:

Función inversa
Dada una función $latex f$ su función inversa es una función, digamos $latex g$, que compuesta con $latex f$ y aplicada a $latex x$, da como resultado otra vez $latex x$. Es decir, $latex g(f(x)) = x$ para todo $latex x$ en donde $latex f$ esté definida.

¿Complicado? En realidad, no tanto.

Por jemplo:
La función $latex g(y) = y^2$ es la función inversa de la función $latex f(x) = \sqrt{x}$, porque:
$latex g(f(x)) = g(\sqrt{x}) = \left(\sqrt{x}\right)^2 = x$

Otro ejemplo:
La función exponencial $latex g(y) = e^y$ es la función inversa de la función logaritmo natural $latex f(x) = ln(x)$, porque:
$latex g(f(x)) = g(ln(x)) = e^{ln(x)} = x$

(Si no te resulta claro, puedes verificar lo anterior utilizando una calculadora científica)

Ahora, según lo expuesto y volviendo a la pregunta original, nos damos cuenta de que la inversa de una función trigonométrica no es otra función trigonométrica, sino una función que compuesta con ella da como resultado el argumento en que se evalúe la composición.

Tomemos la función $latex f(x) = sen(x)$. ¿Quién debería ser su función inversa? Pues alguna otra función, digamos $latex g$, tal que $latex g(f(x)) = x$ para todos los $latex x$ en el conjunto donde $latex f$ está definida. Esa función existe, se llama función arcoseno y se le representa por $latex arcsen$.

Un problema aquí es que en algunos textos en vez de escribir $latex arcsen(y)$ escriben $latex sen^{-1}(y)$, con lo cual se comete un abuso de notación y se abona a la confusión, porque entonces se piensa que con $latex sen^{-1}(y)$ se está representando al inverso multiplicativo de la función seno, es decir a $latex \frac{1}{sen(y)}$, lo cual es incorrecto.

A continuación pueden ver las gráficas de ambas funciones:

Y el código de R utilizado para generarlas:
# Gráfica de las funciones sen(x) y arcsen(x) en el intervalo [-pi/2,pi/2]


# Generamos una secuencia de 100 números entre -pi/2 y pi/2, ambos inclusive

x <- seq(-pi/2,pi/2,length=100)
# Evaluamos la función sen(x) en esa secuencia

y <- sin(x)
# Obtenemos la gráfica de y = sen(x)

plot(x,y,type="l",col="blue",main="y = sen(x)",xlab="X",ylab="Y")

# Graficamos los ejes coordenados

abline(h=0,v=0,col="red")
# Calculamos y = arcsen(x)

x2 <- asin(y)

# Abrimos una nueva ventana para gráficos windows() # Obtenemos la gráfica de y = arcsen(x) plot(y,x2,type="l",col="blue",main="y = arcsen(x)",xlab="X",ylab="Y") # Graficamos los ejes coordenados abline(h=0,v=0,col="red")

Spooky

SheepShyfter — Sat, 14 Apr 2007 18:58:00 +0000

Griten....

Bueno, ahi les va:

***

Sea S el signo de integral.

Ssen3x(cosx)dx ; con limites desde 0 hasta Pi/3

Entonces:

u= sen3x
du= 3cosx dx
dv= cosx dx
v= senx

= senx(senx)-3Ssenx(cos3x)dx

u= cos3x
du= -3sen3x
dv= senx
v= -cosx

= senx(sen3x) -3[-cosx(cos3x) -3Ssen3x(cosx)dx]
= senx(sen3x) +3cosx(cos3x) +9Ssen3x(cosx)dx

Si Ssen3x(cosx)dx = I
Entonces:

I = senx(sen3x) +3cosx(cos3x) +9I
-8I = senx(sen3x) +3cosx(cos3x)
I = (-1/8)[senx(sen3x) +3cosx(cos3x)]

Sust I = Ssen3x(cosx)dx

Ssen3x(cosx)dx = (-1/8)[senx(sen3x) +3cosx(cos3x)]
Con Limites de 0 a Pi/3
Aplicando Limites:

= (-1/8)[sen60(sen180) +3cos60(cos180)] + (1/8)[sen0(sen0) +3cos0(coso)]
= 9/16

***
Si lo entendieron... tengan miedo... tengan mucho miedo... porque yo lo tengo.