El libro como tal no pasa de ser un cuento simplón. El argumento es nulo, o una excusa para tratar el tema. No le veo la gracia.

Y bueno, sabiendo que es un libro juvenil, y sobre matemáticas, pues me he animado a leerlo. Pero al tercer capítulo (o sueño) lo he abandonado.

Lo he abandonado pues no quiero líos innecesario. Encima de no acabar de entender ni aceptar las matemáticas por mi parte, este libro colabora por el mal camino cambiando de nombre a conceptos matemáticos conocidos.

Al llegar a la parte de números de primera ya lo deje completamente. Números de primera son los números primos. Y las potencias lo llaman saltos. No creo que ni para niños ni para mi sea buena elección.

Además de tener errores básicos que confunden más aun. En la explicación de La conjetura de Goldbach obvia que se trata de números pares para que funcione el truco" del diablo.

En fin, de nuevo las matemáticas pueden conmigo. Y la respuesta a mi poco entendimiento no lo puedo encontrar en este best-seller :-(

¿Alguien me recomienda algo? Para un pobre ignorante de las matemáticas.

Y por otro lado, la lista de números primos cuenta ya con más de 10 millones de números. Dentro de poco serán publicados en 100 cómodas listas de 1 Mb cada una. NOTA: NO se garantiza que sean números primos. En principio debería serlo, puesto que no se ha detectado ninguna anomalía en la lista demasiado grande; pero basta con que falte uno para que gran parte del trabajo se haya ido al garete.

Permanezcan a la espera ^^.

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.

Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

Observações:
=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
=> 2 é o único número primo que é par.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

• Reconhecimento de um número primo

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:
=>  ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
=>  ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.

Exemplos:

1) O número 161:

• não é par, portanto não é divisível por 2;
• 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
• por 7:  161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.

2) O número 113:

• não é par, portanto não é divisível por 2;
• 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
• por 7:  113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
• por 11:  113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.
• Atividades sobre números primos
• Aqui você tem alguns números com base neles responda:
• 49 18 56 17 8 9 24 82 10 78 21 26 64 2 16 13 100 57 42 37 12 31 98 6 28
• O menor número primo
• O maior número primo
• O menor número composto
• O maior número composto
• Um número que não é primo nem composto
• Um número primo de um algarismo
  
• Um número composto com um algarismo
  
• Um número composto com dois algarismos
  
• Um número primo com dois algarismos
  
• Um número composto

Qual das faixas é contruída somente por números primos?

a) 2 4 6 8 10

b) 0 2 4 6 8

c) 2 3 5 7 9

d) 2 3 5 7 11

e) 3 5 7 9 11

Números primos de 0 a 100

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

Para números grandes es muy costoso, porque como es obvio, tardaríamos mucho. Pero gracias a los ordenadores, que son capaces de hacer cantidades ingentes de operaciones, el trabajo es muy rápido.

Para la calculación de números primos, el método de la vieja sería el de la definición de número primo:

El conjunto de los números primos es un subconjunto de los números naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son divisibles únicamente por sí mismos y por la unidad.

Wikipedia.org

Es fácil: Dividimos un número entre todos los primos conocidos que sean menores que él (sin contar al uno como primo). Si el resultado de todas las operaciones deja resto (si operamos con números enteros, si operamos con reales sería si la operación deja decimales), entonces ese número es primo.

Como dividirlo entre todos los números primos es una exageración, estableceremos un límite en sqrt(n) (raiz cuadrada de n), siendo n el número que queremos comprobar.

Se escoge sqrt(n) debido a que todos los números que dividen a n se encuentran en dos mitades, los menores que sqrt(n) y los mayores. Los que son mayores que sqrt(n) son el resultado de dividir n entre un número menor que sqrt(n). La demostración matemática de esto, sencillamente, no la recuerdo :P.

Otra forma de optimizar el proceso es limitar la comprobación a los números impares, y obviando la comprobación de que sea divisible entre 2. Así nos ahorramos dividir un número par entre 2, que ya sabemos que nos va a dar un número no primo y dividir un número impar entre 2, ya que sabemos que 2 no divide números impares.

Puede parecer una chorrada, pero cualquier ahorro es un gran ahorro, porque se repetirá durante mucho tiempo.

El algoritmo, en pseudocódigo, sería entonces:

Variables:

• lista : Lista de todos los números primos.
• n: número que queremos comprobar si es primo o no.
• primo: Número primo que comprobaremos si divide a n.
• limite: sqrt(n), sólo se comprueban los números primos menores o iguales a este número.
• es_primo: Variable booleana de control. Indica si un número es primo o no. Se inicializa a VERDADERO.

Programa:

1. Inicializamos n {Nota: Si sólo queremos comprobar ese número, no puede ser mayor que el mayor primo almacenado al cuadrado, si queremos hacer una lista de primos no puede ser mayor que el último primo almacenado}
2. Mientras n < máximo {el número más grande con el que puede operar el lenguaje} hacer

1. {Inicialización de variables:} es_primo=VERDADERO limite=sqrt(n) primo=primer_primo(lista)
2. Mientras (es_primo=VERDADERO) y (primo<=limite) y (lista no ha acabado) hacer

1. Si (entero módulo primo) = 0
2. entonces es_primo=FALSO
3. Sino: primo=siguiente_primo(primo, lista)

3. Fin Mientras
4. Si es_primo=verdadero
5. entonces almacenar_primo(primo, lista)
6. n=n+2 {recordemos que solo comprobamos los números impares}

3. Fin Mientras

Lo probé en Pascal, siendo la lista un archivo de texto (para poder publicarla después en este mismo blog) y comprueba un millón de números en pocos minutos, aunque como es obvio cada vez tardará mas. Ahora mismo, después de 3 horas aproximadamente, ha superado ya el número 37*10⁶. Esa misma lista ocupa unos 20 Mb, así que probablemente la suba a Megaupload o a un sitio de esos.

Demostrar que
$latex \displaystyle f(n) = (2n - 1)(1 + \lfloor\frac {(2n)! + 1}{2n + 1}\rfloor + \lfloor - \frac {(2n)! + 1}{2n + 1} \rfloor) + 2$

siempre es un número primo y que aparecen todos los primos en esa secuencia, o sea para cualquier primo p existe un n que hace que $latex f(n) = p$

La notación $latex \lfloor x \rfloor$ significa: el mayor entero menor a x.
Antes de seguir leyendo sugiero intentarlo mucho, no es difícil.

la solución es sorprendentemente simple y solo utiliza un hecho ingenioso:
si x es entero entonces $latex \lfloor x \rfloor + \lfloor - x \rfloor = 0$ en caso contrario es igual a 1.
Suerte!

p.d. la solución está aquí, pero en inglés.

Terence Tao, australiano de 32 anos e ganhador da Medalha Fields (o "Oscar da Matemática"), disse que a suposta prova apresentada pelo chinês traz uma inconsistência que fez com que uma função utilizada ficasse "muito mais poderosa" do que realmente é, e lamentou o fato de não ter sido dessa vez que tal hipótese foi provada.

Os mistérios sobre a distribuição dos números primos pode influenciar mais nossa vida do que imaginamos.  Boa parte da segurança na internet é baseada nos números primos, incluindo sua distribuição, ou seja, a partir desse conhecimento poderemos vivenciar o dia em que a segurança online entrará em colapso.

A importância desse problema é tamanha que ele é um dos sete que foram colocados a prêmio pelo Clay Mathematics Institute (Instituto de Matemática Clay). Quem resolvê-lo ganhará  1 milhão de dólares.

Visite a página onde o artigo está disponibilizado, clicando aqui.

Para ler um pouco mais sobre a hipótese de Riemman, clique aqui.

• Un número primo sería por ejemplo, el 5 ya que solo puede dividirse por 1 y por 5. {Un truquillo :) …los números primos hasta el 19, son todos los números impares}.
• Un número compuesto sería el 6; este puede dividirse por 1, por 2, por 3 y por 6

• 16: 2= 8      Resto =0. La división es exacta, por lo que sí podemos darle dos caramelos a cada niño.
• 16: 3= 5      Resto =1. La división no es exacta, por lo que 3 no es divisor de 16; lo que implica que no podemos darle a cada niño 3 caramelos.

• Así, máximo común divisor de dos números es el número más grande posible que permite dividir a esos números.
• Por otro lado, el mínimo común múltiplo de dos números, de la misma forma que se ha podido ver anteriormente, es el menor múltiplo distinto de 0 que ambos tienen en común.

• Factorizar es descomponer un número mayor en otros más pequeños. Estos números multiplicándolos dan lugar al primero. ¿Cómo se hace? En el vídeo que se muestra a continuación explica de una forma clara el proceso a seguir para factorizar un número.

Ontem eu resolvi judiar um pouco do meu notebook, que de supercomputador não tem nada. Inspirado pelos problemas propostos no www.projecteuler.net, fiz o Celeron suar com programinhas em Python que fazem tarefas aparentemente rápidas.

O que muita gente não se dá conta, é do crescimento exponencial da complexidade dos cálculos conforme o nosso objetivo entra num universo cada vez mais amplo.

Vamos a um exemplo simples. Um dos problemas propostos é achar a soma de todos os números primos menores que 1 milhão. Mas vamos por passos crescentes...

- Números primos menores que 10: fácil, fazemos de cabeça e dizemos 2 + 3 + 5 + 7 = 17. O computador responde quase instantaneamente, impossível de se medir pelo top do Linux. Existem meios de medir precisamente, mas não usei.

- Passando para 100 esse limite, você certamente demorará vários minutos pra listar no braço, quiçá horas, brincando nisso, e ainda gastará um tempo somando tudo. No computador, o resultado obtido é praticamente instantâneo, assim como no caso dos menores que 10.

- O limite agora é 1000, e eu não recomendo que ninguém tente fazer a mão. Porém, 1000 ainda é pouco para os computadores pessoais modernos: resultado instantâneo também.

- Chegando em 10 mil, o processo começa a demorar sensivelmente mais: cerca de 3 segundos.

- Em 100 mil vem o primeiro salto: em apenas uma ordem de grandeza a mais, o tempo necessário foi para 3 minutos e 11 segundos!

- Vamos ao proposto, 1 milhão. Arrisca um palpite? Eu coloquei o programa pra rodar durante o Domingão do Faustão. E ele terminou junto com o Fantástico! Foram mais de QUATRO HORAS só de tempo de processador, num total de 4h10m com o computador ligado, nenhum outro programa rodando a não ser os serviços do próprio Sistema Operacional (que são feitos pra não usar muito processamento).

Sim, um salto sensacional. Fico tentando imaginar quanto tempo demoraria para listar os primos até 10 milhões, no meu computador. Meu chutômetro leva a um palpite de, no mínimo, 15 dias, isso se a memória RAM ou o HD não acabarem antes, porque em algum lugar eu terei que guardar a lista. Outro chutômetro: como os números primos vão rareando, não creio que teríamos problemas de memória calculando até uns 100 milhões. (Dado: meu processador roda a 1.4GHz. Processadores com freqüências maiores reduzirão esse tempo. Supercomputadores PULVERIZARIAM esse tempo, em casos simples como o que apresentei).

Aos números que obtive: de 1 a 1 milhão, são 78498 números primos, e a soma deles é 37550402023. Consegue imaginar esse número? Escrevendo por extenso, como nos exercícios da quarta série: 37 bilhões, 550 milhões, 402 mil e 23.

Brinde: um print-screen do top quando o programa chegou na casa do 999 mil

genmagic.org

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$latex \displaystyle\zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...+\frac{1}{n^{s}}+...$

que é absolutamente convergente se, e somente se, $latex s>1$. 

.::. Em especial, para este artigo, desejo provar a belíssima relação desta função com os números primos, demonstrada pelo próprio Euler:

$latex \displaystyle\zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=\displaystyle\Pi_{p\ primo}\left( 1-\frac{1}{p^{s}}\right) ^{-1}$

ou seja,

$latex \displaystyle\zeta (s)=\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right) ^{-1}.\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right) ^{-1}.\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right) ^{-1}.\left( 1-\frac{1}{7^{s}}\right) ^{-1}.\cdots$

.::. Demonstração.

.::. Sabemos que:

$latex \displaystyle\zeta (s)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...+\frac{1}{n^{s}}+...$ (1)

.::. Seja

$latex \displaystyle\frac{1}{2^{s}}\zeta (s)=\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+...$ (2)

.::. Façamos agora (1) - (2):

$latex \displaystyle\zeta (s)-\frac{1}{2^{s}}\zeta (s)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...-\frac{1}{2^{s}}-\frac{1}{4^{s}}-\frac{1}{6^{s}}-\frac{1}{8^{s}}-\cdots$

.::. Isto implica que:

$latex \displaystyle\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\cdots$

 .::. Seja, agora,

$latex \displaystyle\frac{1}{3^{s}}\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\cdots$

.::. Façamos $latex \displaystyle\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)-\frac{1}{3^{s}}\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)$, afim de obtermos:

$latex \displaystyle\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+...-\frac{1}{3^{s}}-\frac{1}{9^{s}}-\\-\frac{1}{15^{s}}-\frac{1}{21^{s}}-\cdots$

.::. Logo, temos que:

$latex \displaystyle\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+...$

.::. De acordo com a relação acima, vamos fazer:

$latex \displaystyle\frac{1}{5^{s}}\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\frac{1}{35^{s}}+...$

.::. Podemos, assim, operar:

$latex \displaystyle\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)-\frac{1}{5^{s}}\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)$

.::. Observe o resultado:

$latex \displaystyle\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+...-\frac{1}{5^{s}}-\\ -\frac{1}{25^{s}}-\frac{1}{35^{s}}-...$

.::. Isto implica que:

$latex \displaystyle\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+...$

.::. Observe que, aos poucos, estamos eliminando todos os múltiplos de $latex \displaystyle\frac{1}{2^{s}}$, $latex \displaystyle\frac{1}{3^{s}}$, $latex \displaystyle\frac{1}{5^{s}}$, e assim sucessivamente, inclusive eles próprios. Logo, se prosseguirmos desta forma com todos os primos, haverá de restar apenas o $latex 1$, por indução. Assim:

$latex \displaystyle\Pi_{p\ primo}\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)\zeta (s)=1$

onde $latex \Pi$ denota produtório. 

$latex \displaystyle\Pi_{p\ primo}\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)\zeta (s)=1\Longrightarrow\zeta (s)=\Pi_{p\ primo}\left( 1-\frac{1}{p^{s}}\right) ^{-1}$

.::. Como queríamos demonstrar.

.::. Mas, o que é um número primo?

.::. Número primo é um número natural maior que 1, divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Ou seja:

.::. Se $latex \displaystyle\ p\in\mathbb{N}$ é primo, então $latex \displaystyle\ p > 1$ e seus únicos divisores são $latex \displaystyle\ p$ e 1.

.::. O conjunto dos números primos pode ser denotado por:

$latex \mathbb{P}=\{p\in\mathbb{N}$|$latex p$ é primo $latex \}$

.::. Da definição anterior, podemos concluir que:

..:: Se $latex \displaystyle\ p\in\mathbb{P}$, então:

 $latex \forall\textrm{a,b}\in\mathbb{N}:\textrm{p=a.b}\Longrightarrow\textrm{a=1 e b=p ou a=p e b=1}$.

.::. Todo número $latex \ n>1\in\mathbb{N}$ que não é primo é chamado de número composto.

.::. Os números 0 e 1 não são considerados primos nem compostos.

.::. Os primeiros números primos são:

$latex \textrm{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,...}$

..:: O Teorema Fundamental da Aritmética.

.::. " Todo número composto $latex \ n > 1\in\mathbb{N}$ pode ser escrito como um produto de números primos."

.::. Assim, $latex \exists\ p_1, p_2, p_3, ..., p_n\in\mathbb{P}\textrm{ tais que }\ n=\ p_1.p_2.p_3.\cdots\ .p_n$.

.::. Exemplos:

$latex \ 4=2.2$

$latex \ 15=3.5$

$latex \ 20=2.2.5$

$latex \ 28=2.2.7$

$latex \ 144=2.2.2.2.3.3$

$latex \ 200=2.2.2.5.5$

.::. E assim por diante.

..::  O Lema de Euclides:

.::. Se $latex \ p$ é um número primo, e se $latex \ p$ divide o produto $latex \ a.b$, sendo que $latex \ a$ e $latex \ b$ são números naturais, então ou $latex \ p$ divide $latex \ a$ ou $latex \ p$ divide $latex \ b$. Em linguagem matemática: 

.::. Seja $latex \ p\in\mathbb{P}$. Então:

 $latex \forall\ a,b\in\mathbb{N}:\ p|ab\Longrightarrow\ p|a$ ou $latex \ p|b$.

.::. Vamos demonstrar o lema. Suponhamos que $latex \ p$ divida $latex \ a.b$, mas não divida o número $latex \ a$. Portanto, temos que $latex \ mdc(p,a)=1$. Assim, $latex \ p$ divide $latex \ b$. Ou, suponhamos que $latex \ p$ divida $latex \ a.b$, mas não divida o número $latex \ b$. Logo, temos que  $latex \ mdc(p,b)=1$. Assim, $latex \ p$ divide $latex \ a$.

.::. A demonstração está completa. Para compreêndê-la melhor, é preciso estudar um pouco mais sobre a Teoria dos Números.

.::. Mas, uma consequência interessante do  lema de Euclides é a de que se temos um $latex \ n>1\in\mathbb{N}$ tal que $latex \ n=x.y$ e $latex \ n$ é composto, então $latex \ n|x.y$, porém temos que tanto $latex \ n$  não divide $latex \ x$ quanto $latex \ n$ não divide $latex \ y$.

.::. Exemplo: Se $latex \ 2|a.b$,  temos a certeza absoluta de que um dos fatores é um múltiplo de $latex \ 2$. Mas, sabemos que $latex \ 8|24$, porém $latex \ 8$ não divide $latex \ 6$ nem $latex \ 4$, pois $latex \ 6.4=24$.

.::.Teorema de Euclides: "O conjunto dos números primos é infinito".

.::. Demonstração: Suponhamos que $latex \mathbb{P}=\{ p_1, p_2, ..., p_n\}$ seja um conjunto finito. Consideremos um número $latex \ n>1\in\mathbb{N}$, tal que $latex \ n=p_1.p_2.\cdots\ .p_n+1$. Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, deve existir um primo $latex \ P$ que divida esse número $latex \ n$. Porém, se $latex \ P$ divide $latex \ n$, $latex \ P$  divide $latex \ 1$, o que é um absurdo. Caso exista tal número primo $latex \ P$, este deve ser diferente de $latex \ p_1, p_2,...,p_n$, pois sua divisão por $latex \ n$ dá sempre resto $latex \ 1$. Logo, existe um novo número primo.

.::. Conclusão: O conjunto dos números primos é infinito!

.::. A função $latex \pi\ (x)$ dos números primos.

.::. A função $latex \pi\ (x)$ dos números primos é definida como a quantidade de números primos menores ou iguais a $latex \ x$, ou seja:

$latex \pi\ (x)=\ |\{p\in\mathbb{P}\ |p\leqslant\ x\}\ |$.

.::. Por exemplo:

a) Se $latex \ 0\leqslant\ x<2$, temos que $latex \pi\ (x)=0$.

b) Se $latex \ 2\leqslant\ x<3$, temos que $latex \pi\ (x)=1$.

c) Se $latex \ 3\leqslant\ x<7$, temos que $latex \pi\ (x)=3$.

.::. Existe um teorema, proposto por vários matemáticos, dentre eles Legendre e Gauss, mas cuja demonstração completa só foi encontrada em 1896, por de la Vallée Poussin e Hadamard de maneira independente, que é expresso da seguinte forma:

$latex \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\pi\ (x)}{\frac{\ x}{\ ln|x|}}=1$

.::. Ou seja, quando temos um $latex \ x$ muito grande, a quantidade de números primos é dada por uma excelente aproximação de $latex \displaystyle\frac{\ x}{\ ln |x|}$.

.::. Teorema de Tchebychef. Para $latex \ m\geq\ 2\in\mathbb{N}$, temos que sempre existe um primo $latex \ p$ tal que $latex \ m<p<2m$. Logo, para o enésimo primo $latex \ p_n$ vale a estimativa: $latex \ p_n\leq\ 2^{n}$.

.::. Seja $latex \ n\in\mathbb{N}$ um número ímpar.

 - $latex \ n$ é um número primo, se e somente se, $latex \displaystyle\ n=\left(\frac{\ n+1}{\ 2}\right)^{2}\ -\left(\frac{\ n-1}{\ 2}\right)^{2}$ é a única decomposição de $latex \ n$ como diferença de dois quadrados, dado que $latex \displaystyle\frac{\ n\pm\ 1}{2}$ é um número inteiro.

.::. Seja $latex \ n=a.b$, tal que $latex \ 1\leq\ b\leq\ a\leq\ n\in\mathbb{N}$. Seja $latex \ a=x+y$ e $latex \ b=x-y$.

.::. Logo, $latex \ n=(x+y)(x-y)\Longrightarrow\ n=x^{2}-y^{2}$.

.::. Assim, $latex \ n$ possui tantas decomposições distintas como diferença de dois quadrados quantas decomposições multiplicativas distintas ele admite. 

.::. Os primos de Fermat.

.::. São obtidos pela relação $latex \ p_n=2^{2^{n}}+1$, para $latex \ n\in\mathbb{N}\cup\{\ 0\}$.  Pierre de Fermat (1601 - 1665) acreditou que essa fórmula geraria apenas números primos para todo e qualquer $latex \ n$. Mas Euler (1707 - 1783), outro fantástico matemático, provou que essa indução é falsa para $latex \ n=5$. Para saber mais, leia o artigo princípio da indução.

.::. Os primos de Sophie Germain.

.::. Um número primo $latex \ p$ é um número primo de Sophie Germain se $latex \ 2p+1$ é também primo. São famosos porque Sophie Germain (1776 - 1831), uma exímia matemática e teórica dos números, provou que o Último Teorema de Fermat é verdadeiro para estes números. A existência de um número infinito de tais números primos é uma conjectura, ou seja, uma afirmação não provada.

.::. Os primeiros primos de Sophie Germain são (sequência A005384 em OEIS):

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233 ...

.::. Os primos de Mersenne.

.::. Marin Mersenne (1588 - 1648) foi um frei franciscano que dedicou grande parte da sua vida em pesquisas matemáticas. Correpondia-se com grandes matemáticos da época, incluindo Fermat. Em um trabalho intitulado "Cognitata Physico-Mathematica" , Mersenne afirmou que $latex \ 2^{m} -1$ é primo para $latex \ m=\{2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257\}$.  Em um trabalho de 1947, mostrou-se que para $latex \ m=\{61, 89, 107\}$, $latex \ 2^{m} -1$ também é primo, e que $latex \ 2^{257} -1$ é composto. Atualmente, já se descobriram diversos outros primos de Mersenne.

.::. Sobre a Hipótese de Riemann.

.::. O matemático Bernhard Riemann (1826 - 1866) foi uma figura fantástica no campo da matemática. Contribuiu para diversas áreas do conhecimento matemático, como a análise e a geometria diferencial.  A hipótese de Riemann foi publicada pela primeira vez em 1859 , e declara que os zeros não-triviais da função zeta de Riemann pertencem todos à "linha crítica":

.::. Função zeta de Riemann: $latex \displaystyle\zeta\ (s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$,  para $latex \mathbb{R}\ e(s)>1$.

.::. onde $latex \ s$ é um número complexo na forma $latex \ s=a+bi$.

.::. Os zeros triviais da função zeta de Riemann são os inteiros negativos pares -2,-4,-6,...

.::. Todos os zeros da função zeta que não são números reais estarão na reta vertical $latex \ x=\frac{1}{2}$ . Essa reta é a chamada reta crítica. 

.::. A hipótese de Riemann sobre os números primos é de tal importância que tem intrigado os matemáticos há mais de 150 anos. A hipótese é um dos poucos problemas não resolvidos do programa de Hilbert e foi colocado como problema número 1 de Smale. É tão difícil que em 2000 o Clay Mathematics Institute ofereceu um prêmio de 1 milhão de dólares a quem prová-lo.

.::. Fontes:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do_n%C3%BAmero_primo

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Sophie_Germain

http://pt.wikipedia.org/wiki/Primo_de_Mersenne

http://www.uniandrade.br/simposio/pdf/mat104.pdf

http://www.somatematica.com.br/coluna/gisele/27102004.php

Teoria dos Números - Texto de Aulas do Professor Rudolf R. Maier - Universidade Brasília UnB

A los niños les enseñan en la escuela que los números primos sólo pueden dividirse por sí mismos y por la unidad. Lo que no les enseñan es que los números primos representan el misterio más fascinante al que nos enfrentamos en nuestra búsqueda del conocimiento. ¿Cómo predecir cuál va a ser el siguiente número primo de una serie? ¿Existe alguna fórmula para generar números primos? En 1859, el matemático alemán Bernhard Riemann planteó una hipótesis que apuntaba a la solución del antiguo enigma. Pero no consiguió demostrarla y el misterio no hizo más que aumentar. En este libro asombroso, Marcus du Sautoy nos cuenta la historia de los hombres excéntricos y brillantes que han buscado una solución para revolucionar ámbitos tan distintos como el comercio digital, la mecánica cuántica y la informática. El relato de Du Sautoy constituye una evocación maravillosa y emocionante del mundo de las matemáticas, de su belleza y sus secretos.

• Más información de Marcus Du Sautoy
• La música de los números primos
• La música de los números primos, Mathematical Sciences Research Institute

Muitas pessoas tomam a complexidade e a beleza da natureza como evidências da existência de Deus ou de alguma outra entidade inteligente ou superior. Primeiramente, quero mostrar que existe aí um claro viés de observação: O universo é basicamente uma vasta imensidão de vácuo com umas bolinhas de gás lá e cá e nele a Terra parece ser uma incrível exceção; nosso planeta é um lugar muito especial no universo, não conhecemos nenhum outro tão diversificado em formas e estruturas complexas, assim, precisamos tomar cuidado ao tomar a Terra como referência. Nós vemos tanta complexidade porque o surgimento da vida (e nosso) requer tal complexidade; não poderíamos ter aparecido num lugar típico qualquer para observar a não-complexidade do universo. Já o viés da beleza deve-se simplesmente ao fato de vivermos melhor se admirarmos a natureza do que se não o fizermos; isto é útil a nossa sobrevivência e provavelmente foi selecionado por causa disso. Talvez daqui a milhares de anos as pessoas vejam mais beleza nas paisagens artificias porque isto as tornará mais adaptadas. Não é tanto a beleza da natureza que nos impressiona, quanto nós que impressionamos beleza na natureza.

Descontando-se os viéses, é muito interessante que existam tais formas na natureza e conceber o seu aparecimento espontâneo me pareceu completamente implausível até que conheci sistemas muito simples capazes de gerar grande complexidade. Vou dar alguns exemplos:

Os números primos

Os números naturais são os números que usamos para contar: 0, 1, 2, 3, 4, ...
É um teorema bem conhecido que todo número natural maior que um pode ser expresso como a multiplicação de alguns dentre estes números, chamados por isto números primos (primeiros). Na verdade os primos são infinitos, mas são poucos comparados aos naturais. Ou seja, alguns dos naturais (os primos) são suficientes para gerar todos os outros por multiplicação. Veja:
2 é primo
3 é primo
4 = 2*2
5 é primo
6 = 2*3
7 é primo
8 = 2*2*2
9 = 3*3
10 = 2*5
...
No entanto, embora definir os naturais (zero e sucessor) e os primos (números que têm exatamente dois divisores distintos) seja relativamente simples, a estrutura da seqüência dos números primos é extremamente complicada. É muito difícil de se prever a sequência dos primos sem ter de testar a primalidade de uma montanha de números, e os matemáticos têm tentado compreender as propriedades desta seqüência há mais de 2000 anos. É um grande mistério de onde vem tal complexidade:

Riemann menos Pi. Obtido em: http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/ss-a.htm

A regra 110

Stephen Wolfram inventou um sistema muito interessante de codificar certas regras de gerar padrões em fileiras de quadradinhos (autômatos celulares):

A regra é a seguinte: começa-se de uma linha de quadradinhos brancos, com exceção de alguns pretos; para cada quadradinho da linha, compara-se ele com seus vizinhos, e pinta-se o quadradinho abaixo de acordo com a regra. Repete-se para cada nova linha formada. Curiosamente, aparecem padrões como estes:

Regra 126: Fractal de Sierpinski
Novamente, não me é claro de onde vem esta complexidade, não me parece estar especificada na definição.

O Fractal de Mandelbrot

Benoit Mandelbrot descobriu que se pegarmos um número complexo c=a+bi, elevarmos ao quadrado, somarmos c, elevarmos ao quadrado, somarmos c, e repetirmos isto infinitamente, alguns destes números c vão para infinito (em pelo menos uma de suas partes), e outros não. Se pintarmos de preto num plano de Argand-Gauss, os números que não vão para infinito, encontramos uma estrutura muito interessante, o conjunto de Mandelbrot:

Olhar esta estrutura mais de perto só a revela mais e mais complexa. Acho que este é um caso gritante da complexidade surpreendente que quero mostrar.

Enfim, minha intenção era mostrar que sistemas de definição formal simples podem expressar uma complexidade muito maior do que a intuitivamente esperada, e que não devemos ser céticos em relação a isto. Não é tão surpreendente que a mera dinâmica casual possa ter provocado o aparecimento de estruturas tão complexas quando as vistas na Terra, o surpreendente é que dinâmicas simples possam gerar estruturas tão complexas. Qual é a origem desta complexidade?

Sinopsis: 

Sin vida social y familiar, el anciano tío Petros tiene dos aficiones: la jardinería y el ajedrez. Un día, por casualidad, su sobrino descubre que Petros fue un niño prodigio de las matemáticas y un eminente investigador de esta disciplina en universidades alemanas y británicas. El lector descubrirá que durante años Petros Papachristos volcó su vida en resolver la conjetura de Goldbach, un problema en apariencia sencillo pero que durante dos siglos nadie pudo dilucidar.

Página web de Apostolos Doxiadis

El conjunto de los números primos (que solamente se dividen entre 1 y si mismos) es infinito

La demostración clásica es la de reducción al absurdo, es decir: suponer que el resultado no es cierto para llegar a una contradicción.

Supongamos entonces que hay solo $latex m$ primos, podríamos entonces enlistarlos todos: $latex p_1, p_2,... p_m$ y hacer el siguiente número: $latex p_1 p_2... p_m+1$, o sea 1 mas la multiplicación de todos ellos.
Como este numero es compuesto (no es un primo por que es mayor a todos ellos), es divisible entre algún primo, digamos $latex p_k$ pero tambien lo es el producto de todos los primos (el anterior a el), entonces tenemos que $latex p_k$ divide a 1, que es la diferencia entre estos 2 (he aqui la contradicción)